Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler




Indir 0.58 Mb.
TitleKüme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler
Page1/8
Date conversion23.12.2012
Size0.58 Mb.
TypeBelgeleme
Sourcehttp://uzunincebiryolculuk.files.wordpress.com/2009/07/genel-matematik-_1_.doc
  1   2   3   4   5   6   7   8
I. BÖLÜM

KÜMELER VE SAYILAR


1.1 Kümeler

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler topluluğudur.“ biçiminde ifade edebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin her birine kümenin elamanları denir ve genel olarak kümeler A,B,X,Y, … gibi büyük harflerle, elamanları ise a,b,x,y, … gibi küçük harflerle ifade edilir.

Elemanları a,b,c olan kümeyi biçiminde gösteririz. Kümenin elemanları, kapalı bir çizgi içine alınarak Venn şeması ile de gösterilebilir.


.d

Burada , , ve ’dır.

Tanım.1.1.1: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesi içindedir ya da B kümesi A’yı kapsar denir. Bu ifade ya da ile gösterilir. A’ya B’nin alt kümesi denir. Buna göre

için olur.

Örneğin çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir.

Tanım.1.1.2: A=B ve olmasıdır. Bu tanıma göre A ve B eşit kümeler aynı elemanlardan meydana gelmiştir. Eğer fakat ise A’ya B’nin bir özalt kümesi adı verilir.

n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı dir.

Tanım.1.1.3: Elemanları olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Tanım.1.1.4: Küme teorisinin herhangi bir uygulamasında uğraştığımız tüm kümeleri sabit bir kümenin alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Bu kümeye evrensel küme denir ve genelde E ile gösterilir. Şunu belirtelim ki her şeyi içine alan mutlak bir evrensel küme yoktur.

Tanım.1.1.5: Bir A kümesinin alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

Kuvvet kümesinin elemen sayısı = (n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı) olmak üzere

S(P(A))= biçiminde hesaplanır.

Tanım.1.1.6: A ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanlardan meydana gelen kümeye A ile B’nin birleşimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre



olur.

Sonlu çokluktaki ,,…, kümelerinin birleşimi



ve sayılabilir çokluktaki (k=1,2,…) kümelerinin birleşimi ise



Tanım.1.1.7: A ve B kümelerinin ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B’nin ara kesiti veya kesişimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre

olur.

ise A ve B kümelerine ayrıktır denir.



Ve sayılabilir çokluktaki ,,…,,… kümelerinin kesişimi ise



Tanım.1.1.8: A kümesinin B kümesine ait olmayan elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin farkı denir ve A\B biçiminde yazılır. Buna göre

A\B=

kümesine ise A’nın tümleyeni adı verilir. Tümleyen tanımından A kümesi için , ‘dır.

De Morgan kuralı kümelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri içerir.

Teorem.1.1.1:A ile B iki küme olsun. Bu takdirde



dir.

İspat: (i)



Bu ise ve , yani (ii)’nin sağlanması demektir.

Tanım.1.1.9:A ve B kümelerinden birine ait olup da diğerine ait olmayan elemanların kümesine A ile B’nin simetrik farkı denir ve şeklinde yazılır. Buna göre

= (A\B) olur.

Kümelerle ilgili bazı örnekleri ele alalım.

Örnek.1.1.1: A ve B iki küme olmak üzere olduğunu gösteriniz.

Örnek.1.1.2: De Morgan kuralını kullanarak kümesini sadeleştiriniz.

Çözüm:



Zira olduğundan

1.2 Sayılar

1.2.1 Sayı Türleri

Doğal sayılar kümesi: Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir ve dir.

Tam sayılar kümesi: Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve Z= dir.

Rasyonel sayılar kümesi: Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve Q= ‘ dır. Burada paydanın sıfır olamayacağına dikkat edilmelidir.

Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara veya başka bir ifade ile sadece iki tam böleni olan sayılara denir ve A ile gösterilir. A= pozitif asal sayılardır.

olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar 2n+1 ile gösterilebilir. Ancak asal sayıları temsil edecek şekilde bir formül henüz geliştirilememiştir.

İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani olmak üzere şeklinde

yazılamayan sayılara denir.

Örneğin gibi sayılardır ve bu sayılar genelde I ile gösterilir.

Reel sayılar: Reel sayılar kısaca I olarak yani yukarıdaki sayıların hepsini kapsayan sayılar olarak tanımlanabilir. Sayı ekseni üzerindeki her bir nokta ile reel sayılar arasında bire bir eşleme yapmak mümkündür.

Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi: İleride detaylı olarak verilecektir

1.2.2 Lineer Nokta Kümeleri

Elemanları reel sayılar olan kümelere lineer nokta kümeleri denir.

Aralıklar

  1. (a,b); a,b açık aralığı olarak okunur ve biçiminde tanımlanır.

  2. [a,b]; a,b kapalı aralığı olarak okunur ve biçiminde tanımlanır.

  3. (a,b]; a’ dan açık, b’ den kapalı (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve biçiminde tanımlanır.

  4. [a,b); a’ dan kapalı, b’ den açık (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve biçiminde tanımlanır.

1.2.3 Reel Sayıların Mutlak Değeri

Tanım.1.2.1: a bir reel sayı olmak üzere negatif olmayan ve biçiminde tanımlanan sayısına a reel sayısının mutlak değeri veya modülü denir.

= ifadesine mutlak değerin cebirsel tanımı denir.

1.2.4 Mutlak değerin özellikleri

x,y olmak üzere

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

özellikler mevcuttur.

Teorem.1.2.1: olmak üzere



Tanım.1.2.2: eşitsizliğini sağlayan tüm x noktalarının kümesine noktasının - civarı (komşuluğu) denir.

eşitsizliğini yukarıdaki teoremden biçiminde yazarsak ’ın -civarı açık aralığı olur. Özel olarak =0 alınırsa 0’ın -komşuluğu açık aralığı olur.

Örnek.1.2.1: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:



Örnek.1.2.2: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:



(1)



(2)



(3)



1.2.5 Reel Sayının Tam Değeri

Bir a reel sayısından büyük olmayan tam sayıların en büyüğüne a sayısının tam değeri denir ve ile gösterilir. Bu tanıma göre her a reel sayısı onun tam kısmı ile özelliğini sağlayan kesir kısmının toplamı olarak yazılabilir, yani

dir. O halde olacaktır.

Özellik: olmak üzere

Özellik: m bir tamsayı ve için dır.

Her k tamsayısı ve a reel sayısı için eşitliği genelde doğru değildir.

Örnek.1.2.3: eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Tam kısmı 3 veya 3 ’den küçük olan sayılar 4 ‘den küçük olan sayılardır. O halde

eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde Ç= bulunur.

Örnek.1.2.4: denklemini çözünüz.

Çözüm: dır.



olduğundan çözüm kümesi olarak Ç= elde edilir.

Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi

Olmak üzere bu sayı x ve y gibi reel sayılardan oluşan sıralı ikililer olarak z=(x,y) biçiminde gösterilir.

(x,0) çiftine x reel sayısı gözüyle bakılacak ve dolayısıyla (x,0)=x olarak yazılacaktır. (0,y) biçimindeki kompleks sayılara sırf imajıner sayılar denir. x ve y sayılarına sırasıyla z=(x,y) ‘nin reel (gerçel) ve sanal (imajiner) bileşenleri denir.

Re(z)=x Im(z)=y biçiminde yazılır. (0,1) çiftini i ile göstereceğiz. Buna sanal birim denir.

iki kompleks sayı olsun.



biçiminde yazılır. Çarpım tanımı kullanarak olduğu görülebilir yani dir.

Geometrik Yorum

z=x+iy kompleks sayısını düzlemde bir nokta olarak düşünmek doğaldır. Aynı zamanda z sayısını başlangıç noktasından (x,y) noktasına giden yönlendirilmiş doğru parçası veya vektör olarak da düşünmek mümkündür. z ‘nin modülü



arasındaki uzaklık biçiminde hesaplanır.

Ayrıca merkezi , yarıçapı R olan çemberi ifade eder.

Örnek.1.2.5: yarıçapı 6 merkezi (2,-3) olan çemberi ifade eder.

z=(x,y) için ’ye z sayısının eşleneği denir.

Eşlenik ile ilgili özellikler:



dır.

Kutupsal Gösterim

Sıfırdan farklı z=x+iy sayısına olduğu için z ’yi kutupsal formda biçiminde ifade edilir. Burada z ‘nin argumanıdır ve eşitliği ile hesaplanır. Genel olarak bu durum için n=0,1,2,… dır.

Ayrıca

biçiminde yazılabilir.

Örnek.1.2.6: sayısını kutupsal formda yazalım.

Çözüm: buradan bulacağımız açı II. bölgede bir açı olmalı. Bunun için önce tanjantı eden birinci bölgedeki açıyı buluruz. Bu açı olur. İkinci bölgedeki açısını biçiminde buluruz.

O halde z ‘ nin kutupsal formda yazılışı

olur.

Not: ve olsun. Bu takdirde olur.

De Moivre formülü denir.

olduğundan ‘dır.

Köklerin Alınması

) eşitliğinden köklerini bulmak mümkündür. Bu kökler

formülünden hesaplanır.

Örnek.1.2.7: karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm:



Üstel Form

Argumanı modülü r olan z=x+iy kompleks sayısı veya üstel formda yazılır.

Euler Formülünü kullanarak



yazılabilir.

Örnek.1.2.8: karmaşık sayısını kutupsal gösterimden yararlanarak x+iy formunda yazınız.

Çözüm: ve

ve





  1   2   3   4   5   6   7   8

Add document to your blog or website

Similar:

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconİyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconCanlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler icon701- Alt küme sayıları 8 ve 32 olan iki kümenin eleman sayılarının çarpımı kaçtır?

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconKONYA İLİ 2012-2013 SEZONU BÜYÜKLER SÜPER KÜME VE BÜYÜKLER KÜME FUTBOL LİGLERİ YARIŞMA TALİMATI

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconVaktiyle bu adaya, bu zamanda, kuşlar uğrardı. Cıvıl cıvıl öterlerdi. Küme küme, bir ağaçtan ötekine konarlardı

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconKüme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconSistem en basit deyimiyle bir kümedir. Yani belirli belşenleri elemanları ya da değişkenleri vardır Ancak bunlar rastgele değildir. Bir başka deyişle her küme

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconBu çalışmada boyut azaltma metotlarından temel bileşen analizi ve negatifsiz matris çarpanlarına ayırma metotları geleneksel kümeleme algoritmaları ile beraber kullanılmakta elde edilen sonuçların karşılaştırılması küme saflık ve ortak bilgi değerlerine göre yapılmaktadır

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconDENK OLMAYAN KÜME C D

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler iconKüme Örnekleme Yöntemi

Sitenizde bu düğmeye yerleştirin:
Belgeleme


The database is protected by copyright ©okulsel.net 2012
mesaj göndermek
Belgeleme
Main page