Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi




Indir 54.35 Kb.
TitleBüyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi
Date conversion19.06.2013
Size54.35 Kb.
TypeBelgeleme
Sourcehttp://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/Dersler/ist102/Ders9/BSKMLT.doc
Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi


Önceki derste, bağımsız ve aynı dağılımlı olan rasgele değişkenlerinin toplamı ve otalaması’nın dağılımını irdeledik. Bu derste, ‘nin için davranışı ile ilgili olan, Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi’ni şu ana kadar ulaştığımız bilgi düzeyinde incelemeye çalışacağız. Büyük Sayılar Kanunu’nun basit bir halini ispatlayacağız. Merkezi Limit Teoremi’ni ispatlamadan ifade edeceğiz. Önce, Büyük Sayılar Kanunu’nun ispatında gerekli olan Chebyshev eşitsizliğini ve bu eşitsizliğin dayandığı Markov eşitsizliğini ispatlayalım.


Teorem 1 (Markov Eşitsizliği) negatif değerler almayan bir rasgele değişken olmak üzere, her için,



dır.

İspat: İspatı kesikli hal için verelim. Sürekli halde toplamın yerine integral geçecektir.



ve negatif değerler almadığından,



dır.

Markov eşitsizliği nin büyük değerleri için önem kazanmaktadır. için eşitsizliğin sağ tarafı olasılık açısından bir bilgi sağlamamaktadır.


Teorem 2 (Chebyshev Eşitsizliği) varyansı var () olan bir rasgele değişken olsun. olmak üzere,



dır.

İspat:olsun. negatif değerler almamaktadır. olmak üzere, Markov eşitsizliğinden,



elde edilir. alınırsa,



ile çarpar ve her iki tarafına eklersek,



veya



yazılır. Bu eşitsizliklerde olması durumunda, eşitsizliklerin sağ tarafları bir bilgi sağlamamaktadır.

Chebyshev eşitsizliği,



veya



olmak üzere, rasgele değişkenin kendi ortalaması komşuluğunda bulunması olasılığı için,



gibi bir sınır değer belirlemektedir.

Varyansı var olan her hangi bir olasılık dağılımında, Chebyshev eşitsizliğine göre



dır. Örneğin, olduğunda,



dır. rasgele değişkeni parametreli üstel dağılıma sahip olduğunda,







dır.


Büyük Sayılar Kanunu: bağımsız rasgele değişkenler ve , olsun. ‘lerin ortalaması,



olmak üzere, ve olup, Chebyshev eşitsizliğinden,



ve , için



yazılır. Eşitsizliğin her iki tarafının için limiti alınırsa,




ve olasılılığın birden büyük olamayacağı düşünülürse,



elde edilir. Bu durum Zayıf Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir.

Küçük her değeri için,



olması durumu, “ olasılıkta ‘ye yakınsar “ diye ifade edilmekte ve



biçiminde gösterilmektedir. Buna göre ifade edilirse:


Zayıf Büyük Sayılar Kanunu: bağımsız ve aynı ortalamalı varyanslı rasgele değişkenler ise dır.

Örneğin, düzgün bir tavla zarının ardı ardına atılışında gelen nokta sayıları sırasıyla rasgele değişkenleri (bağımsız ve 3.5 ortalamalı, 35/12 varyanslı) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre



dır. Daha açık olarak ifade edilirse, istenildiği kadar küçük değeri için,



dır. Şimdilik, “düzgün bir zar atıldıkça gelen sayıların ortalaması 3.5 değerine yakınsamaktadır” diyelim.

Düzgün bir tavla zarının 150 kez atılışında aşağıdaki değerler gözlenmiştir.

2 6 1 4 2 5 4 6 5 4 1 5 2 4 1 1 2 2

2 4 1 1 4 4 1 3 3 4 3 2 6 4 4 3 3 6

3 3 5 4 6 1 5 4 2 1 2 6 3 2 6 3 2 4

1 1 1 1 4 2 6 2 1 1 6 5 4 6 1 2 1 5

6 4 2 6 3 6 1 2 2 2 1 6 5 1 5 6 1 6

1 3 4 4 6 6 2 5 1 1 3 6 2 2 6 6 2 2

6 6 3 2 3 5 3 6 6 5 6 4 1 1 4 2 4 6

2 3 5 3 5 1 3 6 3 3 4 6 6 4 6 2 4 3

5 2 6 2 5 5

toplamlar:

2 8 9 13 15 20 24 30 35 39 40 45 47 51 52 53 55 57

59 63 64 65 69 73 74 77 80 84 87 89 95 99 103 106 109 115

118 121 126 130 136 137 142 146 148 149 151 157 160 162 168 171 173 177

178 179 180 181 185 187 193 195 196 197 203 208 212 218 219 221 222 227

233 237 239 245 248 254 255 257 259 261 262 268 273 274 279 285 286 292

293 296 300 304 310 316 318 323 324 325 328 334 336 338 344 350 352 354

360 366 369 371 374 379 382 388 394 399 405 409 410 411 415 417 421 427

429 432 437 440 445 446 449 455 458 461 465 471 477 481 487 489 493 496

501 503 509 511 516 521


ortalamalar:


2 4 3 3.25 3 3.3333 3.4286 3.75 3.8889

3.9 3.6364 3.75 3.6154 3.6429 3.4667 3.3125 3.2353 3.1667

3.1053 3.15 3.0476 2.9545 3 3.0417 2.96 2.9615 2.963

3 3 2.9667 3.0645 3.0938 3.1212 3.1176 3.1143 3.1944

3.1892 3.1842 3.2308 3.25 3.3171 3.2619 3.3023 3.3182 3.2889

3.2391 3.2128 3.2708 3.2653 3.24 3.2941 3.2885 3.2642 3.2778

3.2364 3.1964 3.1579 3.1207 3.1356 3.1167 3.1639 3.1452 3.1111

3.0781 3.1231 3.1515 3.1642 3.2059 3.1739 3.1571 3.1268 3.1528

3.1918 3.2027 3.1867 3.2237 3.2208 3.2564 3.2278 3.2125 3.1975

3.1829 3.1566 3.1905 3.2118 3.186 3.2069 3.2386 3.2135 3.2444

3.2198 3.2174 3.2258 3.234 3.2632 3.2917 3.2784 3.2959 3.2727

3.25 3.2475 3.2745 3.2621 3.25 3.2762 3.3019 3.2897 3.2778

3.3028 3.3273 3.3243 3.3125 3.3097 3.3246 3.3217 3.3448 3.3675

3.3814 3.4034 3.4083 3.3884 3.3689 3.374 3.3629 3.368 3.3889

3.378 3.375 3.3876 3.3846 3.3969 3.3788 3.3759 3.3955 3.3926

3.3897 3.3942 3.413 3.4317 3.4357 3.4539 3.4437 3.4476 3.4444

3.4552 3.4452 3.4626 3.4527 3.4631 3.4733

olmak üzere, yatay eksende atış sayısı ve düşey eksende gelen sayıların ortalaması işaretlenirse,




elde edilir.

Düzgün tavla zarı atılışı deneyini Matlab’da fix(unifrnd(1,7)) deyimi ile gerçekleştirebiliriz (simüle edebiliriz). unifrnd(1,7) fonksiyonu düzgün dağılımdan rasgele sayı üretmekte olup, fix fonksiyonu bunun tam değerini vermektedir. Örneğin,

>> fix(unifrnd(1,7,1,50))

ans =

Columns 1 through 9

3 4 3 4 3 4 6 1 1

Columns 10 through 18

4 2 4 3 5 1 4 1 5

Columns 19 through 27

3 3 2 3 2 2 2 3 3

Columns 28 through 36

3 2 2 6 6 3 4 1 2

Columns 37 through 45

5 5 6 1 3 1 6 6 6

Columns 46 through 50

1 4 1 6 5


dır.

Düzgün bir paranın ardı ardına atılışında gelen tura sayıları (0 ya da 1 tane) sırasıyla rasgele değişkenleri (bağımsız ve ) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre



dır. İstenildiği kadar küçük değeri için,



dır.“Düzgün bir para atıldıkça gelen tura sayısı ortalaması 1/2 değerine yakınsamaktadır”.

rasgele değişkenleri bağımsız ve olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre



dır. Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’nun bu özel hali Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir.

Boş zaman buldukça cebine koyduğu iki farklı renkteki toplardan iadeli olarak çekilişler yapan Jacop Bernoulli, çekilen toplardan belli bir renge sahip olanların sayısını çekiliş sayısına böldüğünde elde edilen sayıların o renkteki topların oranı etrafında çıktığını ve çekiliş sayısı arttıkça bu orana yaklaştığını görmüştür. Muhtemelen, Bernoulli bir çok kişi gibi sezgisel olarak bunu hissetmiş olabilir. Ayrıca, deneysel olarak desteklemenin yanında matematiksel olarak yerli yerine oturtmak istemiş olabilir. Ancak, DeMoivre-Laplace tarafından ispatlanan,



teoreminden sonra,



olduğunu ispatlamak mümkün olmuştur. Bu teoremi bir özel hal olarak içeren ve DeMoivre, Laplace ve Gauss tarafından bulunan Merkezi Limit Teoremini ifade edelim.


Merkezi Limit Teoremi: bağımsız ve aynı dağılımlı (bu dağılımın beklenen değeri, varyansı ) olan rasgele değişkenler olmak üzere,



dır.


Merkezi Limit Teoremi aşağıdaki gibi de ifade edilebilir.


Merkezi Limit Teoremi: bağımsız ve varyansı mevcut aynı dağılımlı rasgele değişkenler olmak üzere,



dır.

Merkezi Limit Teoreminin ispatını önümüzdeki yıl İST201 dersinde göreceksiniz.


Büyük n ler için,



yani, olmak üzere



dır. Yaklaşık olarak yapılabilen olasılık hesaplarında, büyük n ler için, ‘nin dağılım fonksiyonu yerine standart normal dağılımın dağılım fonksiyonu alınabilir. Hattâ nin dağılım fonksiyonu yerine normal dağılımın dağılım fonksiyonu alınabilir.

Örnek 1 Düzgün bir tavla zarının ardı ardına atılışında gelen nokta sayıları sırasıyla rasgele değişkenleri (bağımsız ve 3.5 ortalamalı, 35/12 varyanslı) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre,



yani, “zar atıldıkça gelen sayıların ortalaması 3.5 değerine yakınsamaktadır”. 100 atış sonucunda olasılığı nedir? Merkezi Limit Teoreminden, büyük n ‘ler için



olmak üzere,

olup,


normcdf(sqrt(12/35),0,1)-normcdf(-sqrt(12/35),0,1)= 0.44182

elde edilir. Düzgün bir tavla zarının 100 kez atılışında,

0.44182

dır.

olasılığı nedir?






= normcdf(2.9277,0,1)-normcdf(-2.9277,0,1) = 0.99659

Düzgün bir tavla zarının 100 kez atılışında,

0.99659

olmak üzere, bu sonucu Matlab’da simülasyon yaparak görmeye çalışalım.

>> hold on; plot([0 100],[3.5,3.5])

>> plot((1:100),cumsum(fix(unifrnd(1,7,1,100)))) ; %( 30 kez tekrarlandı)



Düzgün bir tavla zarının n=100 atılışında gelen nokta sayılarının toplamının [340,360] aralığında olması olasılığı,



= = 0.44182

olmak üzere,

0.44182

dır.

Düzgün bir tavla zarının n=100 atılışında gelen nokta sayısı toplamının 350 olması olasılığı nedir? Kesikli dağılımlarda Merkezi Limit Teoremini kullanabilmek için süreklilik düzeltmesi denen aşağıdaki işlem yapılmaktadır.





=


=normcdf(0.05*sqrt(12/35),0,1)-normcdf(-0.05*sqrt(12/35),0,1)


= 0.023356







Örnek 2 Düzgün bir paranın ardı ardına atılışında gelen tura sayıları (0 ya da 1 tane) sırasıyla rasgele değişkenleri (bağımsız ve ) olmak üzere, n=100 atılışında gelen toplam tura sayısının 50 olması olasılığını Merkezi Limit Teoremini kullanarak hesaplayalım.








=

= normcdf(.1,0,1)-normcdf(-0.1,0,1)


= 0.079656


Bu olasılığın gerçek değeri,


= binopdf(50,100,1/2) = 0.079589

dır.


Düzgün bir paranın n=100 atılışında gelen toplam tura sayısının 40 ‘dan çok ve 60 ‘dan az olması olasılığı nedir? Merkezi Limit Teoremi’nden








=


= normcdf(1.9,0,1)-normcdf(-1.9,0,1)


= 0.94257


olup, bu olasılığın gerçek değeri sum(binopdf((41:59),100,1/2)) = 0.94311 dir.


binom dağılımındaki olasılıklar (mavi noktalar) ile normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği (kırmızı çizgi) aşağıdaki gibidir.



ile dağılımlarının dağılım fonksiyonlarının grafikleri,




dır.


Örnek 3 Belli bir tür elektronik parça için yıl olarak dayanma süresinin () olasılık yoğunluk fonksiyonu,



olduğu bilinmektedir. Böyle 100 parçanın toplam dayanma süresinin en az 110 yıl olması olasılığı nedir?



Parçaların dayanma süreleri olsun. rasgele değişkenleri bağımsız ve her biri olan üstel dağılıma sahip olmak üzere, Merkezi Limit Teoreminden




elde edilir. Merkezi Limit Teoreminden faydalanarak yaptığımız olasılık hesabında ‘nin dağılım fonksiyonu yerine normal dağılımın dağılım fonksiyonunu almış olduk. Gerçekte, olmak üzere,

1-gamcdf(110,100,1) = 0.15828

dır.

ile dağılımlarının dağılım fonksiyonlarının grafikleri,

>> x=0:.1:150;

>> plot(x,gamcdf(x,100,1)

>> hold on

>> plot(x,normcdf(x,100,10),'r')



dır.

Add document to your blog or website

Similar:

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconSayılar; Kompleks Sayılar, Fonksiyonlar: Tanımı, türleri, özel tanımlı fonksiyonlar; Trigonometri, Hiperbolik Fonksiyonlar, Limit; Süreklilik; Türev; Maksimum

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconSayılar; Kompleks Sayılar, Fonksiyonlar: Tanımı, türleri, özel tanımlı fonksiyonlar; Trigonometri, Hiperbolik Fonksiyonlar, Limit; Süreklilik; Türev; Maksimum

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconÖğrencinin, küme, karmaşık sayılar, fonksiyon, limit ve süreklilik, türev, olasılık, denklemler ve eşitsizliklerle ilgili işlemleri hatasız yapabilmesini ve

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconÖğrencinin, küme, karmaşık sayılar, fonksiyon, limit ve süreklilik, türev, olasılık, denklemler ve eşitsizliklerle ilgili işlemleri hatasız yapabilmesini ve

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconSıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar,negatif tam sayılar ve sıfır sayısının

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconEN BÜYÜK VE EN KÜÇÜK DOĞAL SAYILAR ETKİNLİĞİ

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconBansko Kayak Merkezi, Bulgaristan `in en büyük ve iddiali kayak merkezi olup 2014 Kis Olimpiyatlari için onay almis, Avrupa`li kayakçilarin yeni favorisidir

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconŞekil Toleransların gösterilmesi LİMİT ÖLÇÜLERİ
«En büyük ölçü» (Maksimum ölçü) (Dg). en küçüğüne (39,95) «En küçük ölçü» (Minimum ölçü) (Dk) adı verilir (Şekil. 2-a)

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi iconİFL DOĞAL SAYILAR-TAM SAYILAR İLE İLGİLİ ÇALIŞMA SORULARI (2009)

Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi icon4 SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder. [!

Sitenizde bu düğmeye yerleştirin:
Belgeleme


The database is protected by copyright ©okulsel.net 2012
mesaj göndermek
Belgeleme
Main page